¿Cómo la tramito?

Para tramitarla hay 2 formas:

En Argentina (lo que más recomiendo):

Presencialmente en el consulado que te corresponde. Para el de Buenos Aires hace un tiempo era sin turno, ahora parece que hay que obtener turno en la siguiente web: Partida de nacimiento para DNI 

En España:

Es necesario tener previamente realizado el trámite de empadronamiento en España

Una vez que tengas el empadronamiento deberás acercarte a cualquier comisaría de España y solicitar el correo de la comisaría para que el consulado en Argentina envíe tu partida de nacimiento

Finalmente deberás enviar un email al consulado español que te correspondía en Argentina (en el caso de Buenos Aires el email es cog.buenosaires.rgc@maec.es) con el siguiente texto y adjuntando imagen de pasaporte español, DNI argentino y volante de empadronamiento:

Buenos días,

Solicito el Certificado Literal de Nacimiento para tramitar mi DNI por primera vez.

• Nombre Completo: XXXXXXXX
• Pasaporte Español: YYYYYYYY
• Adjunto:
  • Copia de Pasaporte Español
  • Copia de DNI argentino
  • Volante de empadronamiento

En unos días aproximadamente recibirás un correo de respuesta indicando:

Estimado/a:

Procederemos con su solicitud. Al enviar su partida de nacimiento, le notificaremos por esta misma vía. Debido a la altísima demanda, la demora es de 10 días, aproximadamente.

Atentamente Registro Civil

Consulado General de España

A los 10 días (aparentemente están siendo mucho más rápidos y en el mismo día puede que recibas el correo) recibirás otro email informándote el envío de la partida a la comisaría elegida:

Estimado Sr/a. XXXXXX,

Le confirmamos que hemos remitido la documentación de referencia a la entidad que usted solicitó.

Atentamente,

Consulado de España en Buenos Aires

Ahora podrás acercarte a la comisaría que elegiste al principio y realizar directamente y sin turno el trámite de DNIe